Öğren › Zihinden işlem stratejileri

Zihinden işlem

İşe yarayan zihinden işlem stratejileri

Zihinden işlem, insanın kendini bir hesap makinesine çevirmesi değildir. Zor görünen bir işlemi iki üç kolay işleme dönüştüren, güvenilir birkaç yolu bilmektir. Aşağıdaki sekiz strateji, çocukların 1. sınıftan itibaren okulda karşılaştığı yollardır; adlarını da elimizden geldiğince sınıfta duyacağınız biçimde verdik. Büyükler için de aynı şekilde işe yararlar.

Millî Eğitim Bakanlığının Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli matematik programı, zihinden işlemi ve sonucu önceden tahmin etmeyi tek bir konuya sıkıştırmaz; her sınıfta, yeni öğrenilen işlemlerle birlikte ele alır. 1. sınıf programı “10’a tamamlama” ve “büyük sayıya küçük sayı ekleme” gibi stratejileri adıyla anar; 2. sınıfta en yakın onluğa yuvarlama, 4. sınıfta 5, 25 ve 50 ile kısa yoldan çarpma gelir. Program bunları ezber hilesi olarak değil, matematiksel muhakemenin, yani akıl yürütmenin bir parçası olarak görür. İşte en çok kullanılan sekiz strateji, çözümlü örneklerle.

1. 10’a tamamlama

8 + 5 işleminde 5, 2 ve 3 diye ikiye ayrılır: 8 + 2 = 10, ardından 10 + 3 = 13. Önce onluğu tamamlamak, toplamada edinilebilecek en yararlı alışkanlıktır ve programda adıyla geçer: 10’a tamamlama (onluğa tamamlama). Bunun için toplamı 10 eden sayıları saymadan bilmek gerekir. 8’i 10’a tamamlamak için 2 gerektiğini çocuk düşünmeden söyleyebilmelidir. Bu ikilileri 10’a ve 20’ye tamamlama rehberimizde ayrıntılı anlatıyoruz.

Aynı yol büyük sayılarda da işler: 47 + 6 = 47 + 3 + 3 = 53. Çıkarmada da kullanılır; bu kez önce bir alttaki onluğa inilir: 13 − 5 = 13 − 3 − 2 = 8. 1. sınıf programında geriye doğru saymanın yanında, çıkarmayı böyle parçalara ayırarak, adım adım yapmak da yer alır.

2. Basamaklarına ayırma

Sayılar onluklarına ve birliklerine ayrılır. 46 + 37 işleminde önce onluklar toplanır, 40 + 30 = 70; sonra birlikler, 6 + 7 = 13; en sonunda 70 + 13 = 83. Akıldan yaparken onluklardan, yani soldan başlamak daha kolaydır, çünkü sayıyı da öyle okuruz. Alt alta toplamada ise tam tersi yapılır ve işe birler basamağından başlanır. İki yol da doğrudur: biri akıl için, öteki kâğıt için.

Çıkarmada genellikle yalnızca ikinci sayıyı ayırmak daha güvenlidir: 72 − 35 = 72 − 30 − 5, yani 42 − 5 = 37. Böylece en sık yapılan hatalardan biri önlenir. Çocuk onlukları çıkardıktan sonra (70 − 30 = 40) birliklerde 2 − 5 yerine “5 − 2 = 3” yapar ve 37 yerine 43 bulur.

3. İkizler ve neredeyse ikizler

6 + 6 = 12, 7 + 7 = 14 gibi bir sayıyı kendisiyle toplamak, yani sayının iki katını bulmak, çocukların en erken ezberlediği sonuçlardandır. Biz bu toplamlara kısaca “ikizler” diyoruz. İkizler, birbirine komşu iki sayıyı toplarken çok işe yarar. 7 + 8, 7 + 7’den 1 fazladır: 14 + 1 = 15. Ya da 8 + 8’den 1 eksiktir: 16 − 1 = 15. Büyük sayılarda da aynısı geçerlidir. 25 + 26, 25 + 25’ten 1 fazladır, yani 51; 35 + 34 ise 35 + 35’ten 1 eksiktir, yani 69.

4. Yuvarlama ve düzeltme

9 eklemek, 10 ekleyip 1 çıkarmaktır: 47 + 9 = 57 − 1 = 56. 19, 29 ya da 99 için de aynısı geçerlidir: 365 + 99 = 465 − 1 = 464. Çıkarmada tersi yapılır; 10 çıkarılır, 1 geri eklenir: 52 − 9 = 42 + 1 = 43.

Fiyatı 9 ile biten ürünlerde bu strateji biçilmiş kaftandır. Kırtasiyede 49 TL’lik bir defter ve 99 TL’lik bir boya kalemi seti aldığınızı düşünün. Yaklaşık olarak 50 TL + 100 TL = 150 TL eder. İkisi de birer lira daha ucuz olduğu için doğru toplam 150 − 2 = 148 TL’dir.

En sık yapılan hata, düzeltmeyi ters yönde yapmaktır. Fazla eklediyseniz şimdi çıkarmanız, fazla çıkardıysanız geri eklemeniz gerekir. Çocuğunuza her seferinde “Fazla mı ekledim, eksik mi?” diye sormayı öğretmek bu hatayı büyük ölçüde önler.

5. İleri sayarak çıkarma

62 − 38 işleminde 38’i çıkarmak yerine 38’den 62’ye doğru ileri sayılır: 40’a kadar 2, oradan 62’ye kadar 22. Fark 2 + 22 = 24’tür. Bu yol, 1. sınıftan itibaren işlenen bir fikre dayanır: toplama ile çıkarma birbirinin tersidir. 62 − 38 sorusu aslında “38’e kaç eklersem 62 olur?” sorusudur.

Sayılar birbirine yakınsa en kısa yol çoğu zaman budur. 1003 − 997 işleminde 997’den 1000’e 3, 1000’den 1003’e 3 daha vardır: sonuç 6. Aynı işlemi alt alta yapmak için sıfırların üzerinden art arda onluk bozmak gerekirdi; hatalar da en çok böyle yerlerde yapılır.

Para üstü de genellikle böyle hesaplanır. Bakkalda 37 TL’lik alışveriş yaptınız ve 100 TL verdiniz: 37’den 40’a 3 TL, 40’tan 50’ye 10 TL, 50’den 100’e 50 TL. Para üstü 3 + 10 + 50 = 63 TL’dir.

6. İkiye katlama ve yarılama

4 ile çarpmak, iki kez ikiye katlamaktır: 17 × 4 için 17’nin iki katı 34, 34’ün iki katı 68. 8 ile çarparken üç kez katlanır: 6’nın iki katı 12, 12’nin iki katı 24, 24’ün iki katı 48; demek ki 6 × 8 = 48. 5 ile çarpmak için 10 ile çarpılıp yarısı alınır: 46 × 5 = 460 ÷ 2 = 230.

4. sınıfta öğrenilen kısa yollar da aynı fikre dayanır. 50 ile çarpmak, 100 ile çarpıp yarısını almaktır: 18 × 50 = 1800 ÷ 2 = 900. 25 ile çarpmak, 100 ile çarpıp dörde bölmektir: 28 × 25 = 2800 ÷ 4 = 700.

Çarpanlardan birinin yarısını alıp ötekini ikiye katlamak da sonucu değiştirmez: 16 × 25 = 8 × 50 = 4 × 100 = 400. Ortaokulda ondalık gösterimle de işe yarar: 3,5 × 4 = 7 × 2 = 14.

7. 9 ve 11 ile kısa yol

9 ile çarpmak, 10 ile çarpıp sayıyı bir kez çıkarmaktır: 9 × 7 = 70 − 7 = 63, 9 × 8 = 80 − 8 = 72. 9’lar çarpım tablosunu tekrarlarken bir ipucu daha var: 9 × 2’den 9 × 10’a kadar her sonucun rakamları toplamı 9 eder (63’te 6 + 3 = 9, 72’de 7 + 2 = 9).

11 ile çarpmak, 10 ile çarpıp sayıyı bir kez daha eklemektir: 11 × 14 = 140 + 14 = 154, 11 × 23 = 230 + 23 = 253. Okulda çarpım tablosu 3. sınıfta 10 × 10’a kadar tamamlanır; 11 ile çarpma ezberlenmez, bu yolla hesaplanır. Büyükler fikri daha da ileri götürebilir: 99 × 6 = 600 − 6 = 594.

8. Tek, çift ve son rakamla kontrol

İki tek sayının toplamı her zaman çifttir; bir tek ile bir çift sayının toplamı ise her zaman tektir. Çarpmada çarpanlardan biri çiftse çarpım da çifttir: 6 × 13 işleminin sonucu 79 olamaz (doğrusu 78). Bir toplamın son rakamı, yani birler basamağı da yalnızca toplanan sayıların son rakamlarına bağlıdır. 47 + 38’in sonucu 5 ile bitmelidir, çünkü 7 + 8 = 15; 84 bulunduysa bir yerde hata var demektir. Doğru sonuç 85.

Bu kontroller cevabı vermez, ama bir cevabın yanlış olduğunu hemen haber verir. Tek ve çift sayılar 3. sınıfta işlenir; iki sayının toplamının tek mi çift mi olacağını düşünmek de 3. sınıf programında vardır. 6. sınıfta bu fikir bölünebilme kurallarına uzanır: son rakamı 0, 2, 4, 6 ya da 8 olan sayılar 2’ye, son rakamı 0 ya da 5 olanlar 5’e kalansız bölünür. Bir başka güvenilir kontrol de sağlamadır. 62 − 38 = 24 bulduysanız 24 + 38 = 62 olduğuna bakmanız yeter.

Hangi strateji hangi sınıfta?

Tablo yaklaşık bir yol haritasıdır: her öğretmen kendi sınıfının hızına göre ilerler ve her strateji sonraki yıllarda, giderek büyüyen sayılarla kullanılmaya devam eder.

Programda her yeni işlem önce somut modellerle (onluk taban blokları, sayı doğrusu, yüzlük tablo) ve zihinden stratejilerle, ardından alt alta yazılı işlemle öğretilir. Ortaokulda, 5. ve 6. sınıfta, aynı stratejiler büyük sayılarla, kesirlerle ve ondalık gösterimle kullanılmaya devam eder. Yazılılarda bir sonucun akla yatkın olup olmadığını hızlı bir tahminle kontrol etmek de çok zaman kazandırır.

Hepsi bir arada: bir petek bulmacası

Beequation bulmacaları bu stratejilerin hepsini birden kullanır. Her petekte bir sayı, diğer iki sayının toplamıdır. Onu çabucak bulmak için son rakamlara bakar, tek ve çift sayıları düşünür, neredeyse farkına varmadan 10’a tamamlarsınız. Şunu bir deneyin:

Kısa cevaplar

Öğrenmeye devam edin