Öğren › Öğretmenler › Muhakeme ve problem çözme

Öğretmenler için

Muhakeme ve problem çözme

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli’nin matematik programı beş alan becerisi tanımlıyor ve listenin başında ikisi var: matematiksel muhakeme ve matematiksel problem çözme. Program muhakemeyi dört bütünleşik beceriyle tarif ediyor: çözümleme, yorumlama, çıkarım yapma ve matematiksel doğrulama veya ispat yapma. İlkokulda bunların ilk ikisi, çözümleme ve yorumlama, kullanılıyor. Problem çözme ise çözümleme, yorumlama, matematiksel çözümler geliştirme ve yansıtma bileşenlerinden oluşuyor. Problem kurma da yansıtma başlığının altında yer alıyor.

Sınıfın diliyle söylersek muhakeme, “Nereden biliyorsun?” sorusuna cevap verebilmektir: açıklamak, gerekçe göstermek, bir düzen fark etmek. Problem çözme ise bildiklerini daha önce karşılaşmadığı bir durumda kullanabilmektir. İkisi için de ayrı bir ders gerekmez. Her gün sorduğunuz sorulardan ve sınıfta yüksek sesle düşünme alışkanlığından beslenirler. Aşağıdaki fikirler her konuya ve her sınıfa uyar; bu yıl hâlâ 2018 programıyla okuyan 4. sınıflarda da aynen işe yarar.

Düşündüren soru kalıpları

Birkaçını bir karta yazıp yanınızda taşıyın ya da sınıf panosuna asın. Siz sordukça öğrenciler de birbirine sormaya başlar:

• Ne fark ettin? Neyi merak ediyorsun?
• Bunların benzer yanı ne, farklı yanı ne?
• Nasıl buldun? Nereden biliyorsun? Bana gösterebilir misin?
• Başka bir yolu var mı? Hangi yol daha kısa?
• Bu sayı değişseydi ne olurdu?
• Bana bir örnek ver. Şimdi de kimsenin aklına gelmeyecek bir örnek.
• Bu her zaman mı, bazen mi, hiçbir zaman mı doğru?
• Hatayı bul: Nerede yanlış yapılmış? Sonuç mantıklı mı?

Beni ikna et

Öğrencilere zaten bildikleri bir bilgiyi verin ve bunun doğru olduğuna sizi (ya da şüpheci rolüne giren sıra arkadaşlarını) ikna etmelerini isteyin. “Çünkü biliyorum” yetmez; gerekçe göstermeleri gerekir.

• 1. sınıf: Beni ikna et: 7 + 8 = 15. 7’yi 2 ve 5 diye ayırırım. 2’yi 8’e eklersem 10 olur; 10 ile 5, 15 eder. Sınıfta buna 10’a tamamlama diyoruz.
• 3. sınıf: Beni ikna et: 6 × 7 = 42. 5 × 7 = 35, bir 7 daha eklersem 42 olur.
• 5. sınıf: Beni ikna et: ⅗, ½’den büyüktür. Beş eş parçanın yarısı iki buçuk parçadır; 3 parça bundan fazladır. Genişleterek de görülür: ⅗ = ⁶⁄₁₀, ½ = ⁵⁄₁₀.
• 6. sınıf: Beni ikna et: 471, 3’e tam bölünür. Rakamlarının toplamı 4 + 7 + 1 = 12, 12 de 3’e bölünür. Bölme işlemi de doğruluyor: 471 ÷ 3 = 157, kalan 0.

Bir çizim, onluk taban blokları ya da sayı doğrusu da kanıt sayılır. En iyi açıklamaların bir kısmı resimdir.

Doğru mu, yanlış mı?

Tahtaya bir ifade yazın; öğrenciler doğru mu yanlış mı olduğuna karar verip nedenini açıklasın. Doğru ve yanlış ifadeleri karıştırın ki cevabı tahminle bulamasınlar.

Hatayı bul

İçinde bir hata olan çözülmüş bir işlem gösterin; öğrenciler hatayı bulsun, açıklasın ve düzeltsin. Bu, öğrencinin kendi hatasını düzeltmesinden çok daha az ürkütücüdür ve geleceğini bildiğiniz yanılgıların önünü almanızı sağlar.

• 2. ve 3. sınıf: 52 − 27 = 35. Birler basamağında 2’den 7 çıkmadığı için 7’den 2 çıkarılmış. Doğrusu: onlar basamağından bir onluk bozulur, 12’den 7 çıkarsa 5; onlar basamağında 4 kaldı, 4’ten 2 çıkarsa 2. Sonuç 25. Sağlama: 25 + 27 = 52.
• 2. sınıf: 45’i en yakın onluğa yuvarlarsak 40 olur. 45, 40 ile 50’nin tam ortasındadır ve tam ortadaki sayı yukarı yuvarlanır: 50.
• 4. sınıf: 824 ÷ 4 = 26. 2 aşağı indirildiğinde 2’nin içinde 4 yoktur; bölüme 0 yazılmadan 4 indirilmiş. Doğru bölüm 206. Sağlama hatayı hemen gösterir: 4 × 26 = 104, ama 4 × 206 = 824.
• 4. sınıf: ¼ + ¼ = ²⁄₈. Dörtte bir ile dörtte bir, dörtte iki eder: ²⁄₄. Paydalar toplanmaz; payda parçaların büyüklüğünü söyler.
• 5. sınıf: 3 + 4 × 2 = 14. İşlem önceliğine göre çarpma önce yapılır: 4 × 2 = 8, sonra 3 + 8 = 11.

Açık uçlu problemler

Birden çok cevabı olan ya da tek cevabı olup birçok yoldan çözülebilen problemler herkesin başlayabilmesini sağlar; hızlı ilerleyenlerin de hep gidecek bir yeri olur. Programın zenginleştirme önerileri de bu yönde.

• Her sınıf: Cevap 12. Soru ne olabilir? Anasınıfında bir çocuk “10 boncuğa 2 boncuk daha” diyebilir; 6. sınıfta 3 × 4, 48 ÷ 4 ya da 48’in %25’i gibi cevaplar gelir.
• 1. sınıf: İki zar atıyorsun. Noktaların toplamı kaç farklı şekilde 6 olabilir? 1 + 5, 2 + 4 ve 3 + 3; 5 + 1 ile 4 + 2’yi ayrı sayarsak 5 farklı şekilde. Hangisinin doğru olduğunu tartışmak da muhakemedir.
• 3. sınıf: Kırtasiyede çıkartmalar 2’li ve 5’li paketlerle satılıyor. Tam 21 çıkartma almak istiyorum. Hangi paketleri alabilirim? Bir 5’li ve sekiz 2’li paket ya da üç 5’li ve üç 2’li paket. 5’li paket sayısı tek olmak zorunda, çünkü 21 tek sayı ve 2’li paketler her zaman çift sayı eder.
• 5. ve 6. sınıf: Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu 20 cm ve kenar uzunlukları tam santimetre. Alanı kaç santimetrekare olabilir? Uzun ve kısa kenarın toplamı 10 cm olmalı; alan 9, 16, 21, 24 ya da 25 cm² olabilir. En büyük alan 5 cm’lik karede. Bu da yeni bir tartışma açar: Kare bir dikdörtgen sayılır mı?

Verilenler, İstenen, Çözüm, Sağlama

Programın 2. sınıftaki toplama-çıkarma problemleri çıktısı (MAT.2.2.1) süreci adım adım sayıyor: problemi anlayarak verilen ve istenilenleri belirlemek, problemi uygun bir temsile dönüştürmek, kendi ifadeleriyle açıklamak, sonucu tahmin edip bir strateji geliştirmek, stratejiyi uygulamak, çözüme götürmeyen stratejiyi değiştirmek ve kısa yolları değerlendirmek. Birçok sınıfta bu süreç deftere sabit bir düzenle yazılır. Örnek bir 3. sınıf problemi:

Elif’in 200 TL harçlığı var. Kırtasiyeden tanesi 45 TL olan 3 defter alıyor. Elif’in kaç lirası kalır?

• Verilenler: 200 TL harçlık; 3 defter; bir defter 45 TL.
• İstenen: Elif’in kalan parası.
• Tahmin: Bir defter 50 TL’den az, 3 defter 150 TL’den az tutar; 50 liradan fazlası kalmalı.
• Çözüm: 3 × 45 = 135 (defterlere ödenen); 200 − 135 = 65. Elif’in 65 lirası kalır.
• Sağlama: Ödenen ile kalan, baştaki parayı vermeli: 135 + 65 = 200.

Cevabı her zaman tam bir cümleyle isteyin: “65” değil, “Elif’in 65 lirası kalır.” Cümleyi yazmak, öğrenciyi soruya geri döndürür. Tahmin ile sonucu karşılaştırmak da alışkanlık olsun: 65, “50’den fazla” tahminiyle uyuşuyor.

Programda problemlerin uzunluğu da sınıf sınıf belirlenmiş: 2. sınıfta toplama ve çıkarmada en çok iki, çarpma ve bölmede tek işlem gerektiren problemler; 3. sınıfta toplama ve çıkarmada en çok üç, çarpma ve bölmede en çok iki işlem. Yeni programın 4. sınıf hedefinde bu sınırlar toplama ve çıkarmada dört, çarpma ve bölmede üç işleme çıkıyor. Yukarıdaki problem bir çarpma ve bir çıkarmayla 3. sınıfın sınırları içinde kalıyor.

Anahtar kelime avına güvenmeyin. “Harcadı” ve “kaldı” çıkarma gibi duyulur, ama “Zeynep 35 TL harcadıktan sonra 15 lirası kaldı. Başta kaç lirası vardı?” problemi toplamayla çözülür: 35 + 15 = 50. Tek tek kelime yakalamaktansa öğrencinin problemi kendi sözleriyle anlatması ve çizmesi çok daha güvenilirdir.

Şekil ve şema çizme

Program, öğrencinin verilenleri “uygun matematiksel temsillere” dönüştürmesini istiyor. Sınıfta bunun en kullanışlı hâli şekil ya da şema çizmek: problemi dikdörtgenlerle çizip neyi bildiğimizi, neyi aradığımızı işlem seçmeden önce görmek. Bazı kaynaklarda bu çizime şerit model de deniyor. Küçük sınıflar parça-bütün ilişkisiyle başlar: “Sınıfta 23 öğrenci var, 14’ü servisle geliyor. Kaç öğrenci servisle gelmiyor?” Bütün 23, bir parça 14; öteki parça 23 − 14 = 9.

Aynı çizim kesirlerde de işe yarar. 5. ve 6. sınıfta: “Defne harçlığının ⅖’sini harcadı, geriye 180 TL’si kaldı. Başta kaç lirası vardı?” 5 eş parçalı bir şerit çizilir, 2 parça harcanan olarak boyanır. Kalan 3 parça 180 TL ise bir parça 180 ÷ 3 = 60 TL, bütün de 5 × 60 = 300 TL’dir. Sağlama: 300 TL’nin ⅖’si 120 TL, 300 − 120 = 180.

Problem kurma

Program problem kurmayı, problem çözmenin yansıtma aşamasına yerleştiriyor: çözülen problemi gözden geçirip ondan yeni bir problem türetmek. Hem eğlenceli hem de anlayıp anlamadıklarını çok iyi gösteren bir etkinlik:

• Bir işleme hikâye yaz: 45 + 28 ya da 36 ÷ 4 için bir günlük hayat problemi yazdırın. 36 ÷ 4 için “paylaştırma” mı yoksa “gruplama” hikâyesi mi yazdıkları, bölmeyi nasıl anladıklarını gösterir.
• Cevabı ver, problemi iste: “Cevabı 65 TL olan bir alışveriş problemi kur.”
• Bir sayıyı değiştir: “Defterin tanesi 50 TL olsaydı ne olurdu?” 3 × 50 = 150, 200 − 150 = 50: Elif’in 50 lirası kalır. Hangi sayının neyi değiştirdiğini görmek, ezberden çözmenin önüne geçer.
• Değiş tokuş: Herkes bir problem yazar, sıra arkadaşıyla değişip onunkini çözer. Çözülemeyen problem genellikle eksik bilgi demektir; bunu birlikte bulmak da ayrı bir derstir.

Açıklamak için cümle kalıpları

Pek çok öğrenci cevabı bilir ama nedenini söyleyemez. Cümle başlangıçları onlara gereken sözcükleri verir. Önce siz kullanın, panoda görünür tutun ve cevapları tam cümleyle isteyin:

• Biliyorum ki…, bu yüzden…
• Önce…, sonra…, böylece cevap…
• … olamaz, çünkü…
• Arkadaşıma katılıyorum (ya da katılmıyorum), çünkü…
• Bu her zaman / bazen / hiçbir zaman doğrudur, çünkü…
• Cevabım mantıklı, çünkü tahminime yakın: …

Bunları ikili çalışmayla birleştirin: öğrenci önce düşünür, sonra sıra arkadaşına anlatır, en son bütün sınıfa söyler. Birbirini dinlemeyi ve fikriyle katkı sunmayı da böylece çalışmış olursunuz.

Kısa cevaplar

Öğrenmeye devam edin